!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=arithmetic,gcd_lcm,euclidean_algorithm,division,divisibility
!set gl_title=PGCD (Plus Grand commun diviseur) de deux entiers naturels non nuls
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Experte
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<div class="wims_defn"><h4>Dfinition</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.<br>
Le <strong>PGCD</strong> de \(a\) et \(b\) est le plus grand des diviseurs
communs  \(a\) et  <class ="nowrap">\(b\).</span>
</div>
<div class="wims_rem"><h4>Remarque</h4>
Si \(b\) est un diviseur de \(a\) alors le PGCD de \(a\) et \(b\) est gal 
<class ="nowrap">\(b\).</span>
</div>
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<div class="wims_defn"><h4>Dfinition</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.<br>
Si le PGCD de \(a\) et \(b\) est gal  1, on dit que \(a\) et \(b\)
sont <strong>premiers entre eux</strong>.</div>
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<div class="wims_rem"><h4>Mthodes de dtermination du PGCD \(d\)
de deux entiers naturels non nuls \(a\) et
<span class ="nowrap">\(b\) :</span></h4>
<ul>
<li>on dtermine l'ensemble des diviseurs de \(a\) et l'ensemble des diviseurs
de <span class ="nowrap">\(b\) ;</span> \(d\) est le plus grand
lment commun  ces deux ensembles&nbsp;;</li>
<li> par l'<strong>algorithme d'Euclide</strong>&nbsp;: on effectue la division
euclidienne de \(a\) par \(b\) <span class ="nowrap">(si \(a \geqslant b\)),</span> puis la division
euclidienne de \(b\) par le reste obtenu, puis celle de ce reste par le second
reste obtenu, et ainsi de suite. Aprs un nombre fini d'tapes, on obtient un
reste nul&nbsp;; \(d\) est le dernier reste non nul&nbsp;;</li>
<li>on dcompose chacun des deux entiers \(a\) et \(b\) en produit de nombres
premiers&nbsp;; \(d\) est gal au produit des nombres premiers communs aux deux
dcompositions, chacun d'eux tant affect du plus petit des deux exposants.</li>
</ul>
</div>
:mathematics/arithmetic/fr/gcd_1
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<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.<br>
L'ensemble des diviseurs communs  \(a\) et  \(b\) est l'ensemble des diviseurs
de leur PGCD.</div>
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<div class="wims_thm"><h4>Consquence</h4>
Tout diviseur commun aux deux entiers \(a\) et \(b\) divise leur PGCD.
</div>

