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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number,complex_plane
!set gl_title=Module d'un nombre complexe
!set gl_level=H5 STI2D&nbsp;Spcialit , H6 Gnrale&nbsp;Experte
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Le plan complexe est muni d'un repre orthonorm
 \((\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\).
<br/>
Soit \(z\) un nombre complexe et \(\mathrm{M}\) le point d'affixe \(z\).<br/>
On appelle <strong>module</strong> de \(z\) le nombre rel, not
\(\left\|z\right\|\), dfini par&nbsp;:
<span style="white-space:nowrap">\(\left\|z\right\| = OM\).</span>
</div>

<div class="wims_thm">
<h4>Consquences</h4>
<ul>
  <li>
  Pour tout \(z\in \CC\), \(\left\|z\right\|\geqslant 0\).
  </li>
  <li>\(\left\|z\right\| = 0 \) si et seulement si \(z = 0\).
  </li>
  <li>Pour tout \(z\in \CC\), \(\left\|-z\right\| = \left\|z\right\|\).
  </li>
  <li>Pour tout \(z\in \CC\), \(\left\|\bar{z}\right\| = \left\|z\right\|\).
  </li>
</ul>
</div>

<div class="wims_thm">
  <h4>Thorme</h4>
<ul>
<li>Soit \(x\in \RR\), \(y\in \RR\) et \(z\) le nombre complexe dfini par
 <span style="white-space:nowrap">\(z=x+\mathrm{i} y\),</span> alors&nbsp;:
  <span style="white-space:nowrap">\(\left\|z\right\|=\sqrt{x^2+y^2}\).</span>
</li>
<li>
Pour tout \(z\in \CC\), \(\left\|z\right\|^2 = z \bar{z}\).
</li>
<li>
Pour tous \(z_1\in \CC\) et \(z_2\in \CC\),
\(\left\|z_1 z_2\right\| = \left\|z_1\right\|\left\|z_2\right\|\).
</li>
<li>Pour tout \(z\in \CC^*\), \(\left\|\frac{1}{z}\right\| = \frac{1}{|z|}\).
</li>
<li>
Pour tous \(z_1\in \CC\) et \(z_2\in \CC^*\),
 \(\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\).</li>
</ul>
</div>
