<div class="thm"> <span class="thm"> Thorme :</span> Soit \(F=(F_1,...,F_n)) un 
champ vectoriel \(C^1) sur un ouvert connexe \(\mathcal U) vrifiant 
\(\frac{\partial F_j}{\partial x_i}=\frac{\partial F_i}{\partial x_j}). Si 
l'intgrale curviligne de F le long d'un chemin contenu dans
\(\mathcal U) ne dpend que des extrmits du chemin, alors 
\(F) est un champ de gradients sur  \(\mathcal U). 
</div>

Remarques : <ul> <li> Grce au \link{green}{thorme de Green}, nous verrons que l'hypothse sur l'indpendance
du chemin est vrifie pour un ouvert\link{connexite}{simplement connexe}.
</li>
<li>En fait, l'hypothse d'indpendance suffit. 
</li>
</ul> 



<div class="solution"> <span class="dem"> Dmonstration : </span>
Soit  \(A) un point fix de \(\mathcal U) et P un point de \(\mathcal U) 
On pose\( f(P)= \int_{A}^{P} F.d M) o on dsigne par cette notation
l'intgrale curviligne de \(F) le long d'un chemin
 allant de \(A)  \(P) (par hypothse, cela ne dpend pas du chemin). 
 
 Calculons les drives partielles de \(f) en un point \(P_0). Pour cela, on choisit une 
 boule ouverte contenant \(P_0) et contenue dans \(\mathcal U) et on note \(C) son 
 centre. On a alors 
 \( f(P)= f(C)+ \int_C^{P} F.dM)
 et on peut prendre comme chemin de \(C)  \(P) le segment \(CP). 
 Ainsi, la fonction \(g: M\mapsto  \int_C^{P} F.dM) est exactement la fonction que nous
 avons dfini dans la dmonstration pour une boule ouverte. 
 Comme \(f(C)) ne dpend pas de \(P), les drives partielles 
 de \( f) et de \(g) en \(P_0) sont gales et on a donc 
 <center> \(\frac{\partial f}{\partial x_i}= F_i )</center>
 pour i compris entre 1 et n. 
 

</div>