<div class="exemple">\(\int_{a}^{b} f(t)dt) est l'aire du domaine  \(D_f) dfini par  \(a\leq x\leq b),  \(0\leq y\leq f(x)) : 
\def{function f=random( x^2-x+1, 3*sin(x), 2*ln(1+x),2*x*sin(x))}
\def{function ff=simplify(evalue(\f,x=t))}
\def{real a=randint(0..10)/10}
\def{real b=randint(20..30)/10}
\def{text point=(\a+(\b))/2, evalue(\f,x=(\a+\b)/2)/2}
\def{text A= \a,evalue(\f,x=\a)}
\def{text B= \b,0}
\def{text C= \b, evalue(\f,x=\b)}
\def{real integrale= int(\f,x=\a..\b)}
<table> <tr><td>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}Ainsi, l'aire du domaine \(D_f)  limit par
 le graphe de la fonction \(f ) pour \( f(x)= \f) et \(x) dans  [\a,\b] 
 et les segments \(OA), \(OB) et \(BC) 
 est gale  \(\int_{\a}^{\b})\( (\ff) dt=\integrale) </td><td>
\draw{150,150}{
xrange -0.5,2*\b+0.5
yrange -0.5,2*\b+0.5
trange \a,\b
arrow 0,0, 0,1,10,black
arrow 0,0, 1,0 ,10,black
vline 0,0, black
hline 0,0, black
linewidth 3
line \a,0,\A, red
plot red, t,\ff
line \a,0,\B, red
line \C,\B, red
fill \point, green
text black, \point,  medium,D
text black, \a,0,medium, O
text black, \A,medium, A
text black, \B,medium, B
text black, \C,medium, C
}
</td></tr></table>
On a donc reli l'intgrale d'une fonction  une aire, c'est--dire  l'intgrale
double  \(\int\int_{D_f} )\(dx dy).  Cela s'exprimera plus tard comme le thorme de Green : 
 <center>\(\int_C)\(( \f  dx)= \int\int_{D_f})\( dx dy)<\center>
</div>
