\def{integer n=random(2..5)}
\def{text listebis=e<sub> 1</sub>*}
\def{text vecP= P<sub>1</sub>(M)e<sub> 1</sub>*}
\def{text df= D<sub>1</sub>(f)e<sub> 1</sub>*}
\def{text df1= D<sub>1</sub>(f)edx<sub> 1</sub>}
\for{i=2 to \n}{\def{text listebis=\listebis, e<sub> \i</sub>*}
\def{text vecP=\vecP + P<sub> \i</sub>(M) e<sub> \i</sub>*}
\def{text df=\df + D<sub> \i</sub>(f) e<sub> \i</sub>*}
\def{text df1=\df + D<sub> \i</sub>(f) dx<sub> \i</sub>}
}
Commencer par des \link{formlineaire}{<span class="exemple">rappels sur les formes linaires</span>}
avant  la dfinition suivante :

<div class="defn"><span class="dfinition"> Dfinition :</span>
Une <span class="defn">forme diffrentielle  \(\alpha) (de degr 1) </span> sur un ouvert  \(\mathcal U) de  \(\RR^n) est la donne en chaque point  \(M) de 
 \(\mathcal U) d'une forme linaire  \(\alpha(M)). En coordonnes, 
<center> 
\(\alpha(M)= \sum_{i=1}^n P_i(M) e_i^\ast)
</center></div>

Par exemple pour \(n=\n) \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}, cela s'crit 
<center> 
\alpha(M)= \vecP
<br>
</center>
Pour \(n=2), avec des notations un peu diffrentes, 
<center>\alpha(x,y)= P(x,y)e<sub> 1</sub>*+  Q(x,y)e<sub> 2</sub>*
<br>
\alpha= Pe<sub> 1</sub>*+  Qe<sub> 1</sub>*
</center>

<div class="exemple"><span class="exemple"> Exemple   des formes diffrentielle associes  une fonction :</span>
 Soit  \(f: \mathcal U \subset \RR^n\to \RR) une fonction de \(n) variables. On lui associe la forme diffrentielle 
de degr  1 
<center>
 \(df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} e_i^\ast=\sum_{i=1}^n D_i(f)e_i^\ast)
 </center>
</div>
Par exemple, pour n=\n \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}, 
<center>
 df = \df
 </center>
</div>

Pour n=2,  <center>
 \(df = \frac{\partial f}{\partial x}e_1^*+\frac{\partial f}{\partial y}e_2^*)
 </center>
 Si  \(f(x,y)=x), on obtient  \(df = e_1^*), si  \(f(x,y)=y), on obtient  \(df = e_2^*).
D'o la notation commode   \(dx=e_1^*),  \(dy=e_2^*) et l'expression plus familire qu'il faut retenir
<center>
 \(df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial
y}dy).
</center>
et lorsqu'il y a \(n) variables, 
 <center>
 \(df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i=\sum_{i=1}^n D_i(f)dx_i)
 </center>
\link{n1}{Et pour n=1 ?} 
 