<div class="exercice"> <span class="exercice">Exercice :</span> 
Remarquer que  \(F\cdot dM) ne dpend que de la projection de  \(F) sur la tangente
 la courbe. Que peut-on dire du signe de la circulation des champs prcdents et
suivants le long de la courbe trace : 
</div>

 <div class="thm"> <span class="thm"> Proposition </span>
 Soit  \(f: U\to \RR^n) un champ de vecteurs  \(C^1) et  \( c: [a,b]\to \RR^n) 
une courbe paramtre  \(C^1)
d'extrmits 
 \(A=c(a)) et  \(B=c(b))
: alors
<center> \(
\int _{\mathcal C} \grad f.dM =  f(B)-f(A))
</div>

En effet, pour  \(n=2) par exemple 
<center> \(
\int _{\mathcal C} \grad f.dM &= \int_a^b \left(
\frac{\partial f}
{\partial x}(c_1(t),c_2(t))c'_1(t)+\frac{\partial f}{\partial y}(c_1(t),c_2(t))c'_2(t)
\right) dt =  \int_a^b 
g'(t)
 dt
 = g(b)-g(a)
)
</center>
avec \(g= f(c(t))  
D'o le thorme : 
<div class="thm"><span class="thm"> Thorme </span>
 La circulation d'un champ de gradient le long d'un chemin ne dpend que des 
extrmits 
du chemin. 
</div>

<div class="exemple"><span class="exemple"> Exemple </span> :
 On considre une attraction proportionnelle  la distance  un point  \(O), appel centre
d'attraction. Le champ de vecteurs  \(F) vrifie  \( 
F(M)= -m \overrightarrow{OM}). Autrement dit  \(F(x,y)= -m xe_1 -m
ye_2).  Si  \(f(x,y)= -\frac{m}{2}(x^2+y^2) ), on a  \( grad f=F). 
 Donc la circulation de  \(F) le
long d'un chemin allant d'un point
 \(A)  un point  \(B) ne dpend pas du chemin et vaut  
  \(-\frac{m}{2} (OB^2-OA^2)). Autrement dit, 
le <span class="defn">travail </span>
 effectu pour aller de  \(A)   \(B) ne dpend pas du chemin. 
</div>

<div class="exemple"><span class="exemple"> Exemple </span> :
 On considre une attraction inversement proportionnelle  la distance  un point  \(O). 
Le champ de vecteurs  \(F) vrifie donc 
<center> \(
F(M)= -\frac{m}{OM^2} \overrightarrow{OM}= -m(\frac{x}{x^2+y^2}e_1+  \frac{y}{x^2+y^2}e_2) \ . 
)
</center>
 Si  \(f(x,y)= -\frac{m}{2}\ln (x^2+y^2)), le gradient de  \(f) est gal   \(F),  condition que  \((x,y)\neq (0,0)). 
\`A condition de ne pas passer par le point  \(0), la circulation de  \(F) le long d'un chemin allant de  \(A)   \(B) ne dpend que 
de  \(A) et de  \(B) et vaut  \(-\frac{m}{2} \ln \frac{OB^2}{OA^2}). 

</div>