\def{integer m=\parm1}
Plaons-nous dans  \(\RR^2). Soit  \(\psi) un <span class="defn"> changement de coordonnes </span> \(x=\psi_1(X,Y)),  \(y=\psi_2(X,Y))) de  \(\mathcal U) dans un ouvert  \(\mathcal V): autrement dit, on se donne une application injective
 \(\psi=(\psi_1,\psi_2)) de  \(\mathcal U) sur un ouvert  \(\mathcal V) (donc
  bijective  de  \(\mathcal U) sur \(\mathcal V)),  \(C^1) et telle que 
  le dterminant de <center> 
Jac\((\psi)= \pmatrix{
\frac{\partial  \psi_1}{\partial X}&\frac{\partial  \psi_2}{\partial X}\cr
\frac{\partial  \psi_1}{\partial Y} &\frac{\partial  \psi_2}{\partial Y}\cr
}
)
</center>
soit partout non nul sur  \(\mathcal U). On dit aussi que  \(\psi) est un 
<span class="defn">diffomorphisme de  \(\mathcal U) sur  
\(\mathcal V)</span>. 

Soit \if{\m=2}{ \(\alpha) une forme diffrentielle 
 \(\alpha(x,y)=P(x,y)dx +Q(x,y)dy).
}{\(F=(P,Q)) un champ de vecteurs.} On applique le changement de variables  
 \(x=\psi_1(X,Y)),  \(y=\psi_2(X,Y)) : 
<center> \(
\matrix{
dx =\frac{\partial \psi_1}{\partial X} dX+ \frac{\partial \psi_1}{\partial Y}  dY\cr
dy =\frac{\partial \psi_2}{\partial X} dX+ \frac{\partial \psi_2}{\partial Y} dY\cr
}
)
</center>
et  \if{\m=2}{\(\alpha) }{F}devient dans les coordonnes (X,Y) 
<center> \if{\m=2}{ 
\psi*\alpha(X,Y)
}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}= \(P(\psi_1(X,Y),\psi_2(X,Y))(\frac{\partial \psi_1}{\partial X}  dX+ 
\frac{\partial \psi_1}{\partial Y}  dY)
+ Q(\psi_1(X,Y),\psi_2(X,Y))(\frac{\partial \psi_2}{\partial X}  dX+ 
\frac{\partial \psi_2}{\partial Y} 
dY)) = <br>
\( \left(
P(\psi_1(X,Y),\psi_2(X,Y))\frac{\partial \psi_1}{\partial X} +Q(\psi_1(X,Y),
\psi_2(X,Y))\frac{\partial \psi_2}{\partial X}
\right)dX 
)<br>
\( \ \ \ + 
\left(
P(\psi_1(X,Y),\psi_2(X,Y))\frac{\partial \psi_1}{\partial Y} +Q(\psi_1(X,Y),
\psi_2(X,Y))\frac{\partial \psi_2}{\partial Y} 
\right)dY  = 
)<br>
\(\ =P_1(X,Y)dX +Q_1(X,Y)dY
)
</center>
avec
<center> \(
\pmatrix{P_1(X,Y)\cr Q_1(X,Y)\cr}
 = \pmatrix{
\frac{\partial  \psi_1}{\partial X}(X,Y)&\frac{\partial  \psi_2}{\partial X}(X,Y)\cr 
\frac{\partial  \psi_1}{\partial Y}(X,Y) &\frac{\partial  \psi_2}{\partial Y}(X,Y)\cr
 }\pmatrix{
P(\psi_1(X,Y),\psi_2(X,Y))\cr Q_1(\psi_1(X,Y),\psi_2(X,Y))\cr
 })
 </center>
ou encore
<center> \(
\pmatrix{
P_1\cr Q_1\cr
}
 = \pmatrix{
\frac{\partial  \psi_1}{\partial X}&\frac{\partial  \psi_2}{\partial X}\cr
\frac{\partial  \psi_1}{\partial Y} &\frac{\partial  \psi_2}{\partial Y}\cr
 }
\pmatrix{
P\circ \psi\cr Q\circ \psi\cr
}
= Jac(\psi) \pmatrix{
P\circ \psi\cr Q\circ \psi\cr
}
)
</center>

 \if{\m=2}{<div class="thm"> <span class="thm">
  Thorme :</span>
 L'intgration d'une forme diffrentielle
  est invariante par changement de variables, autrement dit 
<center>\(
\int_{\mathcal C} \psi^* \alpha = \int _{\psi(\mathcal C)} \alpha)
</center>
</div>
 }
{<div class="thm"> <span class="thm"> Thorme :</span>
 On a 
<center>\(
\int_{\mathcal C} Pdx+Qdy = \int _{\psi(\mathcal C)}  P_1 dX+Q_1 dY)
</center>
avec \((P_1,Q_1)) comme ci-dessus. </div>
}

<div class="exercice"> <span class="exercice">Exercice :</span>
 Que donnent ces formules dans le cas du changement en coordonnes polaires  \(x=r\cos
\theta),  \(y=r
\sin\theta) ?  ne pas chercher  appliquer la formule prcdente mais refaire le calcul
dans ce cas particulier. 
Qu'en dduit-on lorsque  \(\alpha) est de la forme  \(df) avec  \(f) une fonction de deux variables ? 
</div>