Soit  \(\mathcal C) une courbe  \(C^1) ferme sans points doubles entourant un
domaine  \(\mathcal D). 
Choisissons un champ de vecteurs  \(F) dont le rotationnel est gal   \(1 ), 
c'est--dire  \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1), on a alors 
<center>
 aire(D)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}} Pdx+Qdy)
</center>
  
On a donc ramen un calcul d'aire  un calcul d'intgrale curviligne. 
Par exemple,  les champs de vecteurs donns par  \((-y/2,x/2)), 
  \((-y,0)) ou  \((0,x)) conviennent. 

D'o les formules : 

<div class="thm">
<center>
 aire(D)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}} (xdy-ydx)/2)
<br>
 aire(D)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}}-ydx)
<br>
 aire(D)=\( \int\int_{\mathcal D} dx dy= \int_{\mathcal {C}} xdy)
</center>
</div>

Prenons par exemple un domaine \(\mathcal D) dfini par \(a\leq x\leq b,  0\leq y\leq f(x))
pour une fonction \(f) positive. Des trois formules prcdentes, c'est la seconde qui est la plus intressante
pour ce domaine : L'intgrale curviligne est nulle sur les deux bords verticaux, elle est nulle aussi sur le
bord horizontal infrieur car on a alors \(y=0). Donc , si \(C_1) est la courbe \(y=f(x), x)
 \in [a, b], 
<center> aire(D)= \(-\int_{C_1}-ydx)=\int_{a}^b f(x) dx)</center>

Ainsi, <b><font color=blue>la formule de Green est une gnralisation de la formule reliant 
l'intgrale d'une fonction positive avec l'aire du domaine associ. </font> </b>

