Supposons que l'on connaisse l'approximation linaire de la fonction \(f) en \((x_0,y_0)). Pour calculer une approximation du nombre \(f(x_1,y_1)) avec \((x_1,y_1)) proche de \((x_0,y_0)), on peut utiliser cette approximation linaire \(A).
\def{integer u=random(1..4)*random(1,-1)}
\def{text liste= exp(x^2+(\u)*y^2-x), cos(x*exp(y)+(\u)*y*exp(x^2)+y)}
\def{function f=simplify(randitem(\liste))}
\def{function D1=simplify(diff(\f,x))}
\def{function D2=simplify(diff(\f,x))}
\def{real d=evalue(\f,x=0,y=0)}
\def{real d1=evalue(\D1,x=0,y=0)}
\def{real d2=evalue(\D2,x=0,y=0)}
\def{function app=simplify(\d+(\d1)*x+(\d2)*y)}
\def{real a= random(1,-1)*randint(1..40)/1000}
\def{real b= random(1,-1)*randint(1..40)/1000}
\def{real appnum=evalue(\app,x=\a,y=\b)}
\def{real fnum=evalue(\f,x=\a,y=\b)}

<div class="exemple"> <span class="exemple"> Exemple :</span>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}
L'approximation affine en \((0,0) ) de la fonction dfinie par <center>\(f(x,y)=\f) </center> est 
\(\d+(\d1)*x+(\d2)*y). 
Une approximation de \(f(\a,\b)) est donc \(\appnum) obtenue en valuant \(\app) en \(x=\a) et \(y=\b).  La "vraie" valeur de \(f(\a,\b)) ou plutt une meilleure approximation est \(\fnum). 
</div>

 Mais sans autre prcision, on ne peut pas connatre <span class="defn"> l'erreur commise, </span> c'est--dire une majoration de la diffrence (en valeur abolue) entre
\(f(x_1,y_1)) et \(A).   Ce problme a dj t rencontr dans le \fold{casunevar}{cas des fonctions d'une variable. } Dans le cas de deux variables, on utilise aussi une \fold{taylor}{formule de Taylor-Lagrange qui fait intervenir les drives partielles d'ordre 2.} 

On en dduit que  

<div class="thm">  Soit \(f) une fonction \(C^2) dfinie sur un rectangle \(B) de \(\RR^2) centr en \(M_0), dfini par \(|x-x_0| <r_1),  \(|y-y_0| <r_2).  Alors, si \(a+bx+cy) est l'approximation linaire de \(f(M)=f(x,y)) au point \(M_0), on a la majoration suivante  et si \(M_1) est un point de \(B):  
<center>
\(|f(x_1,y_1)-(a+bx_1+cy_1)| \leq  
\frac{1}{2}(U r_1^2+V r_1r_2+W r_2^2))
</center>avec \(U) un majorant  de \(|D_{1,1}(f)(x,y)|) sur \(B), \(V) un majorant  de \(|D_{1,2}(f)(x,y)|) sur \(B), \(W) un majorant  de \(|D_{2,2}(f)(x,y)|) sur \(B). 
</div>

\link{gravitation}{<span class="exemple"> Exemples</span>}