<div class="defn"><span class="definition">Dfinition : </span>  Soit \(f) une fonction de 2 variables \((x,y)) dfinie au voisinage d'un point \(M_0=(x_0,y_0)). On dit que \(f) est <span class="defn"> diffrentiable </span>  si \(f) admet une approximation linaire.  </div>

 
<div class="thm"><span class="thm"> Thorme : </span> Si  \(f) est une \fold{classeC1}{fonction de classe} \(C^1) dans un voisinage de \(M_0), \(f) est diffrentiable et son approximation linaire est donne par <center>\( f(M_0) +  D_1(f)(M_0)(x-x_0)+ D_2(f)(M_0)(y-y_0))</center>
</div>

Autrement dit : 

<div class="thm">
<center> \( f(x,y)= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0)+ 
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0))\(
+ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\varepsilon(x,y))</center>
o \(\varepsilon) est une fonction de \((x,y)) dfinie au voisinage de \((x_0,y_0)) telle que <center> \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \varepsilon(x,y)=0).</center>
</div>

<div class="thm">
<center> \( f(x,y)= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0)+ 
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0))\(
+ (x-x_0)\varepsilon_1(x,y)+(y-y_0)\varepsilon_1(x,y))</center>
o \(\varepsilon_1) et \(\varepsilon_2) sont des fonctions de \((x,y)) dfinies au voisinage de \((x_0,y_0)) telle que <center> \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \varepsilon_1(x,y)=0), \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \varepsilon_2(x,y)=0).</center>
</div>

Avec des notations diffrentes que l'on utilisera par la suite, 
<div class="thm"><center> \( f(x,y)=D_1(f)(x_0,y_0) (x-x_0)+ 
D_2(f)(x_0,y_0) (y-y_0))\(
+ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\varepsilon(x,y))</center>
o \(\varepsilon) est une fonction de \((x,y)) dfinie au voisinage de \((x_0,y_0) ) telle que 
<center>\(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \varepsilon(x,y)=0).</center>
</div>

<div class="thm"><center> \( f(M)= grad(f)(M_0)\cdot \vec{M_0M} + ||M_0M|| \varepsilon(M))</center>
o \(\varepsilon) est une fonction de \(M) dfinie au voisinage de \(M_0) telle que <center>\(\lim_{M\to M_0} \varepsilon(M)=0). </center>
</div>