Si  \(i_E) est l'application identique, on a  \(e'_j=i_E(e'j), 1\leq j\leq n), donc  \(P) est la matrice de l'application  \(i_E) dans les bases  \({\cal B'}) de  \(E) (en tant qu'espace de dpart) et  \(\cal B) de  \(E) (en tant qu'espace d'arrive). Cette interprtation de  \(P) est fort importante dans la plupart des raisonnements sur les matrices de changement de base :
<center> \(P=M_{\cal B'}^{\cal B}(i_E)).</center>
<div class="exemple"><span class="exemple">  Remarque : </span> On a  \(M_{\cal B}(i_E)=M_{\cal B'}(i_E)=I_n), la matrice identit d'ordre  \(n). La matrice  \(P) est la matrice de  \(i_E) lorsqu'on considre dans l'espace de dpart "la nouvelle base" \(\cal B') et dans l'espace d'arrive "l'ancienne base" \(\cal B').  Donc,  \(P) est la matrice des "nouveaux vecteurs"de base, par rapport aux "anciens" vecteurs de base.
</div>

<div class="thm"><span class="thm"> Proposition : </span>Soient  \(E) un  \(K)-espace vectoriel de dimension finie  \(n\in \NN^*),  \({\cal B})  et  \({\cal B'}) deux bases de   \(E). La matrice  \(P\in M_n(K)) de passage de la base   \({\cal B})   la base  \({\cal B'}) est inversible et  \(P^{-1}=M_{\cal B}^{\cal B'}(i_E)) est la matrice de passage de la base  \({\cal B'})  la base  \({\cal B}).
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