Comment "fabriquer" des applications linaires ?  Y a-t-il "peu" ou "beaucoup" d'applications linaires entre deux K-espaces vectoriels ?
	Nous allons y rpondre quand l'espace de dpart est de dimension finie.



<div class="thm"><span class="thm"> Thorme : </span>Soient  \(E) et  \(F) deux espaces vectoriels sur le corps K. Supposons que  \(E) est de dimension finie  \(n\in \NN^*). Soient  \((a_1,a_2, ... ,a_n))  une base de  \(E) et  \((b_1,b_2, ... ,b_n)) une suite quelconque de vecteurs de  \(F). Alors il existe une et une seule application linaire  \(\f) telle que :
<center> \(f(a_i)=b_i, \qquad 1\leq i\leq n) </center>
</div>

<div class="thm"><span class="thm"> Corollaire : </span> Soient  \(E) et  \(F) deux K-espaces vectoriels. Supposons que  \(E) est de dimension finie et qu'il existe un isomorphisme de  \(E) sur  \(F). Alors  \(F) est de dimension finie,  \(dim F= dim E) et il existe un isomorphisme de  \(F) dans  \(E).
</div>

<div class="defn"><span class="definition"> Dfinition : </span> Deux K-espaces vectoriels  \(E) et  \(F) sont dits <span class="defn"> isomorphes </span>  s'il existe un isomorphisme de  \(E) sur  \(F).
</div>


	C'est le corollaire qui justifie cette dfinition, lorsque  \(E) est de dimension finie ; lorsque ce n'est pas le cas, nous verrons un peu plus tard que l'application rciproque d'un isomorphisme est toujours un isomorphisme.


<div class="thm"><span class="thm"> Corollaire : </span> Soient  \(E) et  \(F) deux espaces vectoriels de dimension finie  \(n\in \NN^*) et  \(p\in \NN^*), respectivement. Soit   \(\f) une application linaire. Choisissons une base  \({\cal B}=(a_1, a_2, ... , a_n)) de  \(E) et une base  \({\cal B'}=(a'_1, a'_2, ... , a'_p)) de  \(F). L'application  \(T: L(E,F) \rightarrow )M \(_{p,n})(K) qui  toute application linaire  \(f\in L(E,F)) fait correspondre la matrice  \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f)) de  \(f) dans les bases  \(\cal B) et  \(\cal  B') est une application bijective.
</div>