Pour tous  \(x=x_1 u_1 + \cdots + x_n u_n\in E) et  \(y=y_1u'_1+ \cdots +y_pu'_p\in F)  on note  \(X_{\cal B}=[x_j]_{1\leq j\leq n}) et  \(Y_{\cal B'}=[y_i]_{1\leq i\leq p}) les matrices colonnes des coordonnes des vecteurs  \(x) dans la base  \(\cal B) et  \(y) dans la base  \(\cal B'), respectivement. Si  \(A=M_{\cal B}^{\cal B'}(f)),  on a alors :
<center> \(f(x)=y  \Longleftrightarrow  AX_{\cal B}=Y_{\cal B'}) </center>


	Autrement dit, si  \(A) est la matrice de l'application linaire  \(\f) dans les bases  \(\cal B) de  \(E) et  \(\cal B') de  \(F) :
<table align=center border=1> <tr> <td>  <b>rsoudre l'quation  \(f(x)=y)</b></font> (o  \(y\in F) est donn et  \(x\in E) est l'inconnue) </td>
 <td>quivaut  </td> <td><b>rsoudre le systme linaire  \(AX_{\cal B}=Y_{\cal B'}) ;</b></font>
</td> 
</tr><tr><td>
 <b>dterminer le noyau Ker \(f)</b></font></td>
   <td> quivaut </td>
    <td><b> rsoudre  le systme linaire homogne  \(AX_{\cal B}=0) ;</b></font></td><td> on obtient alors une base de Ker \(f), un systme d'quations paramtriques de Ker \(f) et un systme d'quations cartsiennes de Ker \(f) ;
</td> </tr>
<tr><td><b>dterminer le rang de  \(f), une base et un systme d'quations paramtriques de Im \(f)</b></font></td>
 <td> quivaut </td>
  <td> <b>dterminer le rang de la matrice  \(A)</b></font>, c'est--dire,le rang  de la suite des vecteurs colonnes de  \(A) ; 
</td> </tr>
<tr><td><b>dterminer un systme d'quations cartsiennes de Im \(f)</b></font> </td> <td>quivaut </td> <td>chercher les<b>
conditions de compatibilit du systme linaire  \(AX_{\cal B}=Y_{\cal B'}).</b></font></td> </tr>
</table>
</ul>
