Soient  \(E) et  \(F) deux espaces de dimension finie. La prsence de bases dans  \(E) et  \(F) va nous permettre d'associer  toute  application linaire de  \(E) dans  \(F) une matrice.


 <div class="defn"><span class="definition"> Dfinition</span> Soient  \(E) et  \(F) deux espaces vectoriels de dimension finie  \(n\in \NN^*) et  \(p\in \NN^*), respectivement. Soit   \(\f) une application linaire. Choisissons une base  \({\cal B}=(u_1, u_2, \ldots , u_n)) de  \(E) et une base  \({\cal B'}=(u'_1, u'_2, \ldots , u'_p)) de  \(F). On appelle <span class="defn"> matrice </span> de  \(f) dans les bases  \(\cal B) et  \(\cal B') la matrice  \(A\in M_{p,n}(K)), note  \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f )) (ou parfois  \(M(f, {\cal B},{\cal B'}))), dont la \(j) -ime colonne est constitue par les coordonnes du vecteur  \(f(a_j)) dans la base  \(\cal B'),  \(1\leq j\leq n). 
</div>
	Lorsque  \(E=F) et  \(\cal B =\cal B'), on note  \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f )=M_{\cal B}(f)). La matrice  \(M_{\cal B}(f )) est une matrice carre d'ordre  \(n).
Si on a, pour  \(1\leq j\leq n) :
<center> \(f(u_j)=a_{1j}u'_1 + a_{2j} u'_2 +  \cdots + a_{pj} u'_p), </center> 
 c'est--dire, si  \(a_{1j}, a_{2j}, \ldots,  a_{pj}) sont les coordonnes du vecteur  \(f(u_j)) dans la base  \(\cal B'), alors :
<center> \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f )= A = \pmatrix{
a_{11} & a_{12} & \ldots &  a_{1n}\cr
a_{21} & a_{22} & \ldots &  a_{2n}\cr
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr
a_{p1} & a_{p2} & \ldots &  a_{pn}\cr})</center>

\link{exmatrice}{<span class="defn"> Exemple gnrique</span>}
\link{exmatricenum}{<span class="defn"> Exemple numrique</span>}
