\def{integer a=randint(2..6)}
\def{integer b=randint(3..6)}
<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple : </span> \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}Soit   \(f : \RR^2\rightarrow \RR) l'application dfinie pour  \((x,y)\in \RR^2) par  <center>\(f((x,y))=\b*x+\a*y).</center> Alors pour tous  \(u=(x,y)) et  \(v=(x',y')) dans  \(\RR^2) et tout  \(\lambda\in \RR) on a :	
	<center> \(f(u+v) = f((x+x',y+y'))=\b*(x+x')+\a*(y+y')=(\b*x+\a*y)+(\b*x'+\a*y')=f(u) + f(v)) ;<br>
\(	f(\lambda u)=f((\lambda x, \lambda y))=\b( \lambda x )+ \a(\lambda y) =\lambda (\b x +\a y) =\lambda f(u)).</center>
On dira alors que  \(f) est une application linaire du  \(\RR)-ev  \(\RR^2) dans le  \(\RR)-ev  \(\RR).
</div>

<div class="exemple"><span class="exemple"> Exemple :</span> Soit   \(f : \RR^2\rightarrow \RR^2) l'application dfinie pour  \((x,y)\in \RR^2) par <center> \(f((x,y))=(x^2,y^3)).</center> Alors pour tout  \(u=(x,y)\in \RR^2, \ u\neq 0), on a : 	
	<center> \(f(2u)=f((2x,2y))= (4x^2,8y^3) \neq 2(x^2,y^3)=2f(u)).</center>

 Par consquent,  \(f) ne prserve pas l'opration de multiplication par un scalaire du  \(\RR)-ev  \(\RR^2), donc  \(f) n'est pas une application linaire de cet espace vectoriel dans lui mme (de mme, on montre  que  \(f) ne prserve pas l'addition).
</div>
