<div class="exemple"><span class="exemple">Questions </span> Soient  \(E) et  \(F) deux  \(K)-espaces vectoriels de dimension finie, munis des bases  \({\cal B}) et  \({\cal B}_1), respectivement. Comment changent les coordonnes d'un vecteur de  \(E) lorsqu'on change de base dans  \(E) ? Comment change la matrice de  \(f\in L(E,F)) lorsqu'on change de base dans  \(E) et dans  \(F) ?
	Nous allons voir que les changements de base s'expriment par des produits de matrices.</div>

<div class="defn"><span class="definition">Dfinition : </span> Soient  \(E) un  \(K)-espace vectoriel de dimension finie  \(n\in \NN^*),  \({\cal B}=(u_1, u_2, ... , u_n))  et  \({\cal B'}=(u'_1, u'_2, ... , u'_p)) deux bases de   \(E). La matrice  \(P=(p_{ij})_{\matrix{
1\leq i\leq n\cr
1\leq j\leq n\cr}}) dont   la \(j)-ime colonne est constitue par les coordonnes du vecteur  \(u'_j) dans la base  \(\cal B),  \(1\leq j\leq n), est appele la <span class="defn">matrice de passage</span> de la base  \({\cal B})  la base  \({\cal B'})}. Si on a, pour  \(1\leq j\leq n) :
<center> \(u'_j=p_{1j}u_1 + p_{2j} u_2 +  \cdots + p_{nj} u_n),
</center> 
c'est--dire, si  \(p_{1j}, p_{2j}, ...,  p_{nj}) sont les coordonnes du vecteur  \(u'_j) dans la base  \(\cal B), alors :
<center> \(P = \pmatrix{
p_{11} & p_{12} & ... &  p_{1n}\cr
p_{21} & p_{22} & ... &  p_{2n}\cr
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr
p_{n1} & p_{n2} & ... &  p_{nn}\cr})</center>
</div>