Pour passer d'un systme  \((S)) d'quations cartsiennes d'un sev  \(F) de  \(K^n)  un systme d'quations paramtriques de  \(F) : on rsout le systme linaire  \((S)), qui a  \(p) quations et  \(n) inconnues ; si  \((S)) est de rang  \(r),  la solution gnrale s'crit en fonction de  \(n-r) paramtres arbitraires (les inconnues secondaires) et on obtient un systme d'quations paramtriques de  \(F) comportant  \(n-r) paramtres.


Pour passer d'un systme  \(({\cal P})) d'quations paramtriques d'un sev  \(F) de  \(K^n)  un systme d'quations cartsiennes de  \(F) : le systme  d'quations paramtriques de  \(F) fournit une suite gnratrice  \((u_1, ... , u_p)) de  \(F) ; soit  \(A\in M_{np}(K)) la matrice dont les vecteurs colonnes sont  \(u_1, ... , u_p) ; soient  \(\Lambda=(\lambda_j)_{1\leq j\leq p}\in M_{1,p}(K)),  \(X=(x_i)_{1\leq i\leq n}\in M_{n,1}(K)), on considre le systme linaire  \(A\Lambda=X) ; on chelonne le tableau complet de ce systme, si on a  \(r) inconnues principales, on a  \(n-r) conditions de compatibilit du systme  \(A\Lambda=X) ; ces  \(n-r) quations linaires scalaires (o les inconnues sont les coordonnes  \(x_1, x_2, ... ,x_n) du vecteur second membre  \(X)) constituent un systme d'quations cartsiennes de  \(F).