<div class="defn">
<span class="definition"> Dfinition : </span> On appelle  <span class="defn">  espace vectoriel sur  \(K) </span>un ensemble  \(E) sur lequel on a dfini deux lois de composition :
 <ol>Une loi de composition interne (c'est--dire, une application  \(E\times E \rightarrow E)), appele <span class="defn">  addition</span> et note  \(\bigoplus), vrifiant, pour tous  \(u),  \(v) et  \(w) dans  \(E) :
<li>\((u \bigoplus v) \bigoplus w=u \bigoplus (v \bigoplus w)).
</li>
<li> \(u \bigoplus v = v \bigoplus u).
</li>
<li>  Il existe un lment de  \(E) appel <span class="defn">  lment neutre</span> et not  \(0_E) tel que pour tout  \(u) dans  \(E),   \(u \bigoplus 0_E = u).
</li>
<li> Pour tout  \(u) dans  \(E), il existe un lment de  \(E) appel <span class="defn">  oppos de  \(u)</span> et not  \(-u), tel que  \(u \bigoplus (-u) = 0_E).</li>

Une loi de composition externe (c'est--dire, une application  \(K\times E \rightarrow E)), appele <span class="defn">  multiplication par un scalaire </span> et note  \(\bigodot), vrifiant, pour tous  \(u) et  \(v) dans  \(E) et tous  \(\lambda) et  \(\mu) dans  \(K) :
 
<li>\(\lambda \bigodot (u \bigoplus v) =\lambda \bigodot u \bigoplus \lambda \bigodot v).
</li>
<li>\((\lambda + \mu) \bigodot u =\lambda \bigodot u \bigoplus \mu \bigodot u).

</li>
<li> \((\lambda \cdot \mu ) \bigodot u =\lambda \bigodot (\mu \bigodot u)).
</li>
<li>Pour tout  \(x) dans  \(E),  \(1 \bigodot u = u).
 </li>
</ol>
</div>