L'algbre linaire fournit un langage et une collection de rsultats
trs utiles
dans des domaines trs varis (biologie, chimie, conomie, physique,
statistiques ...).
Mais pour savoir l'utiliser, il faut apprendre  identifier les
<span class="defn">problmes linaires</span>
ou ceux qui peuvent tre <span class="defn">modliss par une approche linaire </span>(c'est
une situation usuelle
  dans la plupart des sciences :  on remplace ainsi un phnomne
complexe par un problme
  plus facile  rsoudre).
  

On dira (on verra dans la suite une dfinition plus prcise) que

<div class="defn">un
problme est linaire
  si chaque fois que l'on a deux solutions  \(u) et  \(v) au problme,
alors  \(u+v) et  \(\lambda u),
  o  \(\lambda) est un nombre rel ou complexe, sont aussi solutions du
problme. </div>
Par exemple,
<ul><li>
  le principe de superposition en physique exprime que les quations
de la chaleur et
  des cordes vibrantes sont linaires.  </li>

</ul>

En mathmatiques, l'axiomatisation des problmes linaires se fait
par la dfinition
de la <span class="defn">structure d'espace vectoriel </span>et notre premier souci sera de
distinguer, parmi les ensembles qui nous sont familiers, ceux qui
peuvent tre munis de cette structure.