\comment{<div class="cours">
  <span class="cours"> Cours : </span>
Liret-Martinais,  pages 37 et 38 ou Denmat-Haulme, page 105 
</div>}

<div class="exercice">
<span class="exercice"> Exercice : </span>\exercise{module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sqrt
}{Racine carre}
</div>
\def{integer  a=random(1,-1)*randint(1..10)}
\def{integer  ma=-\a}
\def{integer  b=random(1,-1)*randint(1..10)}
\def{integer ab= (\a)^2+(\b)^2}
\def{real rab1= (\ab)^(1/2)}
\def{integer iab=\rab1}
\def{text tab= \iab^2=\rab1 ? \iab:\ab^{1/2}}
\def{text rab= \iab^2=\rab1 ? \rab:\rab1}
\def{text x2=(\a+\tab)/2}
\def{text y2=(\ma+\tab)/2}
\def{real rx2=(\a+\rab)/2}
\def{real ry2=(\ma+\rab)/2}
\def{text signe= \b >0 ?de mme signe:de signe contraire}
\def{text signe1= \b>0 ? +: -}
\def{text signe2= \b>0 ? -: +}
\def{complex z1= (\rx2)^(1/2)\signe1 i *(\ry2)^(1/2)}
\def{complex z2= -(\rx2)^(1/2)\signe2 i *(\ry2)^(1/2)}
On dsire trouver la <span class="defn"> racine carre d'un nombre complexe </span> donn de manire algbrique, par exemple \(c= \a+ \b i ) \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}. On cherche donc un nombre complexe z=x+iy tel que  \(z^2=\a+ \b i ) avec <font color= green> <b> \( x ) et \( y ) appartenant  \RR. </b> </font> 
<ol>
<li> On crit ce que signifie l'quation \(z^2=c) en termes de \( x ) et de \(y).
<div class="dem1"> Comme \(z^2=(x^2-y^2)+2ixy), l'quation est quivalente au systme d'quations 
<center>\( \special{color=green}\left \lbrace \matrix{x^2-y^2&= \a\\
2xy&=\b}\right .)
 </center>
 </div>
On peut a priori rsoudre  partir de ces deux quations.
 Mais on va en utiliser une autre qui va simplifier la rsolution 
</li>
<li> On traduit donc le fait que \(\vert z^2\vert =|\a+\b i|) ce qui donne 
<div class="dem1"> <center>\( \special{color=green}(x^2+y^2)^2= \ab)
<br>\( \special{color=green}
 x^2+y^2= \tab \sim \rab .)
 </center>
 </div></li>
 <li>
Et quand on a la valeur de \(x^2+y^2) et celle de \(x^2-y^2), que
 voulez-vous faire d'autre que d'en dduire la valeur de \(x^2) et de \(y^2) 
  en ajoutant et retranchant ces deux quations : 
<div class="dem1"> <center>\( \special{color=green}\left \lbrace \matrix{x^2&=\x2\sim \rx2 \\
y^2&= \y2\sim \ry2}\right .)
</center> 
</div>
Au fait, voyez-vous une raison a priori pour que ces valeurs soient positives ? 
</li>
<li> 
Donc, \(x= \pm \sqrt{\x2}) et \(y= \pm \sqrt{\y2})

Mais  cela ferait 4 solutions ! 

<center>\(\sqrt{\x2}+ i \sqrt{\y2}, -\sqrt{\x2}+ i \sqrt{\y2})
<br>
\(-\sqrt{\x2}- i \sqrt{\y2},\sqrt{\x2}- i \sqrt{\y2} )
 </center>
 Ce qui en fait vraiment beaucoup trop, puisque l'quation \(z^2=\a+\b i ) a deux solutions.  
</li>
<li> Cela vient du fait que l'on n'a pas raisonn par <font color = red> conditions quivalentes</font>. Quelle condition n'a-t-on pas utilise ? \( 2xy=\b). Ainsi  \( x ) et \( y ) sont  \signe. 
Donc les solutions sont 
<center>\(\special{color=green}\sqrt{\x2}\signe1 i \sqrt{\y2}, -\sqrt{\x2}\signe2 i \sqrt{\y2})
</center>
et en approchant 
<font color=green> \z1 et \z2. </font></li>
</ol>