<div class="exercice">
<span class="exercice"> Exercice : </span>
Dans le plan complexe, on considre le pentagone rgulier 
standard, dont les sommets
sont les racines cinquimes de l'unit 
<center> 1,  \(\zeta = \exp(2i\pi/5)\ , \  \zeta^2,  \  \zeta^3=
\zeta^{-2}) et  \(\zeta^4= \zeta^{-1} = \overline {\zeta}).</center>
<ol>
<li> 
Montrer que  \(\zeta),  \(\zeta^2),  \(\zeta^{-2}) et  \(\zeta^{-1}) sont 
les racines du polynme
 \(X^4+X^3+X^2+X+1).

 \fold{}{<span class="aide">Aide</span>}{<div class="aide">
 Utiliser l'identit :  X^5-1=(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)</div>}
</li>
<li> On pose  \(\alpha = \zeta+\zeta^{-1}) et  \(\beta= 
\zeta^2+\zeta^{-2}).   Montrer que
 \(\alpha) et  \(\beta) sont les  racines du polynme  \(X^2+X-1). En dduire
les valeurs de  \(\cos \frac{2\pi}{5}) et  \(\cos \frac{4\pi}{5}).

\fold{}{<span class="aide">Aide</span>}
{<div class="aide">
 Calculer  la somme \alpha + \beta et le produit  \alpha \beta  l'aide de la question 1
 .</div>}
</li>
<li>
On trace le cercle  \( C) de centre
   \(-\frac{1}{4}) passant par le point
   \(\frac{\mathrm{i}}{2}).
Montrer que  \( C )  coupe l'axe des rels aux points  \(\alpha/2) et  \(\beta/2).
En dduire une construction du  pentagone
rgulier
 la rgle et au compas. Faites-la avec le module \tool{module=tool/geometry/rulecomp.fr}{Rgles et compas} et proposez votre solution dans le forum si vous participez  une classe (vous pouvez dans ce module sauver le script que vous aurez fait ). 

\fold{}{<span class="aide">Aide</span>}{<div class="aide">
 Ecrire l'quation de   C  en terme d'affixes.</div>}
</li>
<ol>
</div>