On appelle <b> fraction rationnelle</b>  (sur \(\RR\)) toute fonction f 
dfinie par une relation de la  forme 
<p>
<center>
\(f(x)  =  P(x)/Q(x))    
</center></p>
 o  P et Q  sont des polynmes  coefficients rels.

<p>

\def{integer a0=random(1..3)}
\def{integer a1=random(-2..2)}
\def{integer a2=random(-2..2)}
\def{integer n0=random(0..2)}
\def{integer n1=\n0+ random(1..2)}
\def{integer n2=\n1+ random(1..2)}

\def{integer b0=random(1..3)}
\def{integer b1=random(-2..2)}
\def{integer b2=random(1,-1)*random(1..3)}
\def{integer b3=random(1,2,3,0,0)} 
\def{text fraction=pari( (\a2*x^\n2+\a1*x^\n1+\a0*x^\n0)/
(\b3*x^3+\b2*x^2+\b1*x+\b0))}
\def{integer aa0=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real ar0=\aa0/100}
\def{integer aa1=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real ar1=\aa1/100}
\def{integer aa2=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real ar2=\aa2/100}
\def{integer bb0=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real br0=\bb0/100}
\def{integer bb1=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real br1=\bb1/100}
\def{integer bb2=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real br2=\bb2/100}
\def{integer bb3=random(1,-1)*random(100..1000)}
\def{real br3=\bb2/100}
\def{text fraction2=pari(((\ar2)*x^\n2+(\ar1)*x^\n1+(\ar0)*x^\n0)/
((\br3)*x^3+(\br2)*x^2+(\br1)*x+(\br0)))}


Par exemple, \reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}
<p><center> \(\fraction)   ou encore  \(\fraction2) </center>

On note \(\RR(X)) l'ensemble des fractions rationnelles sur \(\RR).

<p>
 On appelle <b>lment simple</b> de \(\RR(X))  une fraction rationnelle d'un des deux types suivants :
<ol>
		<li> <b>type " racine relle" :</b> \(a/(x - u)^k)  avec a et u des nombres rels et k  un entier.

Cet lment simple a pour numrateur une constante et pour dnominateur une puissance d'un polynme x - u o u est un rel. 
</li>
<li> <b>type "racines complexes conjugues ; "</b>\((ax +b)/(x^2 + px + q)^k)   o 
a, b sont des rels, o  p, q sont des rels vrifiant   \(p^2 - 4 q <  0) et o  k  est un entier naturel non nul.
Cet lment simple a pour numrateur un polynme de degr 1 et pour dnominateur une puissance d'un trinme sans racine relle.
</ol>
<p>

\link{theorem}{Thorme}