<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S5}{IV-5  Algorithme du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-5-1  Condition d'optimalit</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}</div>

\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


La fonction d'objectif \( Z(y) = c^*y \) est entirement
dfinie par la donne du vecteur \( c = (c_i, i = 1,\ldots ,n) \). A
chaque base \( B = (M_i, i\in J_B) \), on note \( c_B = (c_i, i\in J_B) \) et
\( c_N = (c_i, i\in J_N) \). D'une faon quivalente, le vecteur \( c_B \)
(<i>resp.</i>   \( c_N \)) s'obtient  partir de \( c \) en prenant les
coordonne \( c_i \) relatives aux variables de base (<i>resp.</i>   hors 
base) associe  la matrice \( B \) (<i>resp.</i>   \( N \)). Le classement du vecteur 
\( c \) selon \( J_B \) et \( J_N \) donne \( c = (\; _{c_N}^{c_B}) \). Naturellement, 
on dit qu'une <font color = "orange">base \( B \) est optimale</font>   si la solution associe 
\( y = ( _{\; 0_N}^{B^{-1}b}) \) est optimale.

<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm"> <a name="th3">
On se donne une base ralisable \( B \) du problme (FS). Si la
forme standard (FS) est de type maximisation (<i>resp.</i>  
minimisation), on considre le vecteur ligne 
<div class="math">\(w_N^* = c_N^* -c_B^* B^{-1}N\)</div> 
(<i>resp.</i>  
\( w_N^* = c_B^*B^{-1}N-c_N^* \)). Alors, on a :
<ul><li>  (i) \( w_N^* \leq 0_N^* \Longrightarrow B \) est optimale.
 </li><li>  (ii)  Si de plus la base \( B \) est non dgnre (<i>i.e.</i>  
\( B^{-1}b >0_B \)), alors
 </li></ul>
<p class="math">\( B \mbox{ est optimale }\Longrightarrow w_N^* \leq 0_N^* .\)</p>
</div>







\noindent La condition d'optimalit \( w_N^* \leq 0_N^* \) peut
tre interprte comme un test d'arrt des itrations
pour l'algorithme du simplexe. Il reste  dcrire la technique
qui permet de passer d'une solution de base ralisable non
optimale  une autre solution de base ralisable ayant une
meilleure valeur conomique. Cette partie fera l'objet du
paragraphe suivant.

<h2 class="intp">Interprtation</h2><div class="intp">
Donner une interprtation conomique du
vecteur \( w_N^* \). A partir de la solution ralisable 
\( y^{(0)} = ( _{\;  0_N}^{B^{-1}b}) \), on construit le point \( y' \)
obtenu en augmentant d'une unit la \( s \)-ime variable 
hors base. D'aprs l'galit  \link{mainS4S4S1}{BNyN}{BNyN}, ce point vaut 
\( y' = ( _{\; \; \; \; \; \; \; \; \; e_s}^{B^{-1}b-B^{-1}Ne_s}) \), o 
\( e_s \) dsigne le \( s \)-ime vecteur de la base canonique de \( \mathbb R^{n-m} \). Si 
le point ainsi obtenu est ralisable, on obtient :
<p class="math">\( Z(y') = Z(y^{(0)})\pm w_N^*e_s = Z(y^{(0)})\pm w_s, \mbox{ car }
w_N^*e_s = w_s.\)</p>
Pour un problme de type maximisation, cette dernire
galit s'crit \( Z(y') = Z(y^{(0)})+w_s \). Donc, l'lment 
\( w_s \) reprsente la quantit s'ajoutant 
la valeur conomique \( Z \) lorsqu'on incrmente d'une unit
la \( s\ieme \) coordonne hors base de \( y^{(0)} \), pour autant que le
nouveau point obtenu soit ralisable. Semblablement, lorsqu'il s'agit d'un
problme de minimisation, \( w_s \) correspond  la valeur retranche de la
valeur conomique. C'est la raison pour
laquelle \( w_N^* \) s'appelle vecteur des <font color = "orange">cots rduits</font>   (ou
<font color = "orange">cots fictifs</font>   ou encore <font color = "orange">cots marginaux</font>  ).
</div>



<h2 class="exo">Exercice</h2><div class="exo">

Sommet-Base-Optimalit : A venir
</div>

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS4S5S1}{IV-5-1  Condition d'optimalit}</div>

\link{mainS4S5S2}{IV-5-2  Amlioration de la fonction d'objectif}

\link{mainS4S5S3}{IV-5-3  Algorithme}

\link{mainS4S5S4}{IV-5-4  Rgle de pivotage}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>