<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Rsolution numrique de l'quation \( f ( x ) = 0 \)} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS1}{I  Introduction} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS1S3}{I-3  Rappels d'analyse} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> I-3-3  Thorme de point fixe</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
<div class="left_selection">\link{mainS1}{I  Introduction}</div>

\link{mainS2}{II  Mthode de dichotomie}

\link{mainS3}{III  Mthode de point fixe}

\link{mainS4}{IV  Mthode de Newton}

\link{mainS5}{V  Mthode de Lagrange}

\link{mainS6}{VI  Bibliographie}

\link{mainS7}{VII  Exercices}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">

<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm">
Soit \( g:\lbrack a, \; b\rbrack \longrightarrow \lbrack a, \; b\rbrack  \) une fonction contractante de rapport \( k  \). Alors \( g \) admet un unique 
point fixe \( l\in \lbrack a, \; b\rbrack  \). \\
\noindent De plus, pour tout choix de \( x_0 \in \lbrack a, \; b\rbrack , \) la suite dfinie par 
\( x_{n+1} = g(x_n), \; \forall n \geq 0 \) converge vers  \( l \) quand  \( n\longrightarrow  +\infty  \).
</div>




\fold{mainS1S3S3F_preu1}{<span class="preu">Preuve</span>

}



<h2 class="rmq">Remarque</h2><div class="rmq">
Si \( g \) est une application vrifiant 
<div class="math">\( 
\left\{
\begin{matrix} 
g(\lbrack a, \; b\rbrack ) \subset \lbrack a, \; b\rbrack \\
|g'(x)|<1, \; \forall x\in \lbrack a, \; b\rbrack 
\end{matrix} 
\right.
\)</div>
alors la suite dfinie par \( x_{n+1} = g(x_n), \; \forall n \geq 0 \) converge vers l'unique point fixe 
\( l \) de \( g \) sur \( \lbrack a, \; b\rbrack  \) pour tout choix de \( x_0 \in \lbrack a, \; b\rbrack   \). 
De plus en faisant tendre \( p \) vers l'infini dans \( \left(\ast \right) \) et en gardant \( n, \) on obtient: 
<div class="math">\(|x_n - l| \leq  |x_{1}-x_{0}| \displaystyle \frac {k^n}{1-k}, \; \forall n\in \mathbb N
\; \mbox{ avec } \; k = \displaystyle \max_{x\in \lbrack a, \; b\rbrack }|g'(x)|\)</div>
</div>

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS1S3S1}{I-3-1  Point fixe}

\link{mainS1S3S2}{I-3-2  Multiplicit d'une racine, fonction contractante}

<div class="right_selection">\link{mainS1S3S3}{I-3-3  Thorme de point fixe}</div>

\link{mainS1S3S4}{I-3-4  Fonctions convexes}

\link{mainS1S3S5}{I-3-5  Vitesse de convergence d'une suite}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>