<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Formes quadratiques} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> III-3  Dcomposition dans une base de vecteurs propres</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Formes quadratiques et formes polaires associes}

\link{mainS2}{II  Orthogonalit}

<div class="left_selection">\link{mainS3}{III  Dcomposition en carrs d'une forme quadratique}</div>

\link{mainS4}{IV  Formes quadratiques sur un espace euclidien}

\link{mainS5}{V  Application: Coniques du plan affine euclidien}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">
<h2 class="thm">Proposition</h2><div class="thm">
Soient \( {\cal B} \) une base de \( E \) et \( q \) une forme quadratique sur \( E \), notons \( M=Mat(q,{\cal B}) \), alors il existe une  base orthogonale par rapport  \( q \) forme par des vecteurs propres de \( M \). 
</div>



\fold{mainS3S3F_proof1}{<span class="dem">Dmonstration</span>

}


<h2 class="corollaire">Corollaire</h2><div class="corollaire">
Soit \( q:E\rightarrow\mathbb R \) une forme quadratique de signature \( (r, s) \) et \( {\cal B} \) une base de \( E \). 
Si \( M=Mat(q,{\cal B}) \), alors \( r \) est le nombre de valeurs propres positives de \( M \) et \( s \) est le nombre de valeurs propres ngatives de \( M \).

 

 



</div>





\fold{mainS3S3F_exF1}{<span class="exemple">Exemple</span>

}




<h2 class="exercice">Exercice</h2><div class="exercice">
\exercise{module=U2/algebra/oefbilin.fr&cmd=new&exo=sign&worksheet=}{Signature d'une forme quadratique}  

</div>


<h2 class="exercice">Exercice</h2><div class="exercice">
\exercise{module=U2/algebra/oefbilin.fr&cmd=new&exo=rang&worksheet=}{Rang d'une forme quadratique}  
</div>






<h2 class="thm">Proposition</h2><div class="thm">
Soit \( q:E\rightarrow\mathbb R \) une forme quadratique de signature \( (r, s) \).
<ol><li>  \( q \) est positive \( \Longleftrightarrow \) toutes les valeurs propres de \( M \) sont positives.
 </li><li>  \( q \) est dfinie positive \( \Longleftrightarrow  \) toutes les valeurs propres de \( M \) sont strictement positives.
 </li></ol>
</div>

</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
\link{mainS3S1}{III-1  Mthode de Gauss}

\link{mainS3S2}{III-2  Exemples}

<div class="right_selection">\link{mainS3S3}{III-3  Dcomposition dans une base de vecteurs propres}</div>

\link{mainS3S4}{III-4  Formes quadratiques quivalentes}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>