D'une part \(1+2\sqrt{x}) est 
minor par 1, d'autre part  <font color=green> si \(x) est suprieur  
</font>\(\special{color=green}\frac{1}{16}) alors \(\frac{1}{\sqrt{x}}) est infrieur  4, donc 
pour tout \(x) suprieur  \(\frac{1}{16}), 
<center>\(\special{color=red}K(x)=4 \left|\frac{1}{(1+2\sqrt{x})\sqrt{x}}\right|) 
<font color=red> est major par </font>
\(\special{color=red}16 \left|\frac{1}{4}-x\right|). </center>

Si  \(x) vrifie
 \(\special{color=green}\left|\frac{1}{4}-x\right|<\frac{10^{-3}}{16}), \(x) vrifie aussi 
\(x\geq \frac{1}{16}), 
La majoration est donc valide et nous avons montr  
l'implication suivante :
<center>\(\special{color=green}\left|\frac{1}{4}-x\right| \leq\frac{10^{-3}}{16})\(
\quad \Rightarrow\quad ) \(\special{color=red} \left|\frac{1}{\sqrt{x}}-2\right| \leq 10^{-3}.) </center>

En rsum, si on choisit \(x) entre \(\frac{1}{4}-\frac{10^{-3}}{16}) 
et \(\frac{1}{4}+\frac{10^{-3}}{16}), on peut dire que  
\(\frac{1}{\sqrt{x}}) vaut 2  10<sup>-3</sup> prs ou que l'erreur est au plus de 10<sup>-3</sup>.

Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite 
la dtermination de l'intervalle est immdiate. Nous pouvons utiliser 
ce travail de majoration pour affirmer :
<center>\(\special{color=red}\forall \epsilon >0 ,)\(\special{color=green}  \exists \alpha >0 \ ,
\left|\frac{1}{4}-x\right| \leq \alpha)\( \quad 
\Rightarrow \quad )\(\special{color=red}\left|\frac{1}{\sqrt{x}}-2\right| \leq \epsilon.) </center>
 Comme notre 
majoration n'est valide que pour \(x) suprieur  
\(\frac{1}{16}), condition qui est vrifie si \(x) appartient  
l'intervalle \([\frac{1}{4}-\frac{3}{8};\frac{1}{4}+\frac{3}{8}]) ;  
 on impose la condition \(\alpha \leq 3/16).
Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre 
\(\special{color=green}\alpha=\inf(\frac{3}{16},\frac{\epsilon}{16})).

\link{approche1bis}{<span class="aide"> Interprtation </span>}