La question est de trouver tous les entiers \(x) vrifiant l'quation 
<p align="center"> \(ax) \equiv \(b) mod \(n) </center>

On peut adopter plusieurs points de vue selon qu'on est  l'aise 
ou non dans l'anneau \ZZ/\(n)\ZZ.

Premire tape : 
<div class="thm">L'quation \(ax) \equiv \(b) mod \(n) a une solution 
si et seulement si le pgcd  \(d) de \(a) et de \(n) divise \(b). </div>

Dans ce cas, on divise l'quation par \(d) (y compris \(n))
et on est ramen au cas o \(a) et \(n) sont premiers entre eux. 

<p> Deuxime tape : 

<ul> <li>\fold{methode1}

</li>
<li> \fold{methode2} 

On  se rend compte  qu'en fait il s'agit de la dmonstration de ce que
\(a) est inversible dans \ZZ/\(n)\ZZ et que si \(ua + vn = 1), \(u) mod \(n)
est l'inverse de \(a) mod \(n) dans \ZZ/\(n)\ZZ. </li>
</ul>

L'avantage sur la premire mthode : on n'a pas besoin de demander 
l'existence de \(k) tel que ... Il est cach dans
le \(a) mod \(n) : on se souvient que \(a) mod \(n) signifie en fait 
\(a + n)\ZZ.

<div class="exercice"><span class="exercice">Exercices rapides</span> : 
\exercise{module=U1/arithmetic/quizarith.fr&exo=testlinmod&scoredelay=60%2C120}
{Equation linaire modulaire}
</div>

<div class="exercice"><span class="exercice">Exercice</span> : 
\exercise{module=U1/arithmetic/modarith.fr&exo=linearmod}{Equation linaire}
</div>