Dans  \(\RR^p), chercher  crire le vecteur  \(b) comme combinaison
linaire de vecteurs donns  \(u_{1}, u_{2}, \dots u_{n}), c'est
rsoudre l'quation vectorielle :
<center>\( x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+\dots x_{n}u_{n}=b )</center>
o les inconnues sont les  \(x_{j},1\leq j \leq n), les coefficients de la
combinaison linaire cherche. Cette quation est quivalente  un
sytme linaire  \(AX=B)  \(p) quations et \(n) inconnues dont la matrice  \(A)
a pour\(j)-ime colonne les composantes de  \(u_{j}) et pour second
membre le vecteur colonne  \(B) des composantes de  \(b).

<div class="exemple">Exemple :</span>
Soient  \(\alpha) et  \(\beta) deux paramtres rels,  \(u_1=(1,2,-3)), \
 \(u_2=(2,3,-4)), \  \(u_3=(1,0,\alpha)) \ et \  \(b=(-1,2,\beta)) quatre
vecteurs de  \(\RR^3). Le vecteur  \(b) est-il combinaison linaire des
vecteurs  \(u_1,u_2) \ et \  \(u_3) ?
 </div>

Cette question revient  savoir s'il existe  \((x_1,x_2,x_3)\in
\RR^3)
tel que
<center>\( \text{(E)}	\qquad x_1u_1 + x_2u_2 + x_3u_3=b. )</center>
  L'quation vectorielle (E) quivaut au systme linaire de trois
quations et trois inconnues
   \(x_1, x_2) et  \(x_3) suivant :
<center>\( (S) \left\{\matrix{
  x_1&+&2x_2&+& x_3&=&-1\\
  2x_1&+&3x_2&&&= &2\\
-3x_1&-&4x_2&+&\alpha x_3&= &\beta
\right.
}}
 )</center>

En resolvant ce systme par la mthode du pivot de Gauss, on obtient  :
  <ol>
 <li>   si  \(\alpha\not=1), la solution du systme est unique
  	 \(b) s'crit, pour tout  \(\beta\in \RR), de facon
unique, comme c.l. de  \(u_1,u_2) \ et \  \(u_3) ;
          </li><li>  Si  \(\alpha=1) et  \(\beta -5), le systme n'a pas de
          solution donc  \(b) ne peut s'crire comme combinaison linaire
          de \(u_1,u_2) \ et \  \(u_3) ;
  	</li><li> Si  \(\alpha=1) et  \(\beta=-5), le systme a une infinit de
  	solutions et   \(b) s'crit d'une infinit de fa\c cons comme c.l. de
 \(u_1,u_2) \ et \  \(u_3). 	</li>
  </ol>

On peut retenir de cet exemple, que si on se donne trois vecteurs de
 \(\RR^3) et un vecteur  \(b), il n'est pas toujours possible d'crire  \(b)
comme combinaison linaire de ces trois vecteurs et que lorsque c'est
possible, l'criture n'est pas  toujours unique.